Matematika és filozófia

Igaza volt-e Pithagorasznak, amikor azt állította, hogy minden létezés visszavezethető a számok világára? Természetesen ez a kérdés már a filozófia asztalára tartozik, hiszen a lét végső természetét boncolgatja. A filozófia azonban nem mindig állt távol a matematikától, a görög és a későbbi hellenista-gnosztikus filozófusok gyakran foglalkoztak matematikával, illetve az ókor nagy matematikusai egytől-egyig neves filozófusok is voltak (Thálesz, Pithagorasz, Platón, Zénón, később Cusanus, Pascal, vagy napjainkban Einstein, Heisenberg, Shrödinger, akik természetesen nem matematikai munkásságukról nevezetesek, de nyilvánvalóan foglalkoztak matematikával is.)

Az ókorban még sokkal közelebb állt egymáshoz matematika és filozófia, ma a filozófia sokkal inkább a társadalomtudományokkal jegyezte el magát, ezért a matematika filozófiai kapcsolatait többnyire az ókori példákon keresztül vagyunk kénytelenek bemutatni.

Minőségi számfogalom

Akkoriban a filozófia inkább a misztikával keveredett, ezért ez a számfogalomra is rányomta a bélyegét. Amikor Pithagorasz azt mondja, hogy mindenek alapja a szám, akkor először is tisztázni kell, hogy mit értett Pithagorasz szám alatt. Nos akkoriban a számfogalom nem volt ennyire tág, mint napjainkban. Valós számokról nem beszéltek, éppen akkoriban folyt a vita, hogy az irracionális egyáltalán számnak tekinthető-e, a komplex számok létezése még fel sem merült, sőt a racionális számokat sem vették egy kalap alá a természetes számokkal, sokkal inkább azok arányainak tekintették őket. Számnak tehát elsősorban a természetes számokat tekintették, és nullát sem sorolták közéjük, és a negatív számoknak sem volt teljes létjogosultsága.

Mindezek ellenére úgy gondolom, hogy a korabeli, és a mai számfogalom között a lényeges különbség mégsem ez, hanem az, hogy akkoriban a számokat nem elsősorban mennyiségek jelölésére használták, hanem minőséget is tulajdonítottak nekik, tehát a számok jelentéssel is bírtak. A számok jelentése (szimbolikája) akkoriban széles körben ismert volt, és ezen jelentéstartalom határozta meg, hogy a szakrális építmények arányait miként komponálták meg, annak hány oldala volt stb., de a hétköznapi élet számos területén is megnyilvánult. Arról már esett szó, hogy a modern pszichológia is beszél arról, hogy a számok és egyéb matematikai alakzatok kapcsolatban vannak bizonyos lelki tartalmakkal (archetípusok), tehát nem véletlen, hogy a régiek jelentéssel ruházták fel a számokat. Mégis érdemes elmélkedni azon, hogy a kapcsolat min alapszik.

Jelentéssel természeten csak a természetes számok rendelkeznek, azok közül is csak a kisebbek. Ez talán összefügg azzal, hogy az iskolai gyakorlat során is megfigyelhető, hogy a gyerekeknek a természetes számok megtanulása nem okoz semmiféle problémát, mintha azok jellege veleszületett módon magától értetődő lenne számukra. Ennek ellenére a számok jelentése nem jelenik meg bennük ugyanolyan természetes módon, legalábbis erre vonatkozóan semmilyen adattal nem rendelkezem, talán a matematikaoktatás gyökereinél mulasztja el erre felhívni a gyerek figyelmét a tanár, vagy a szülő.

Alapvető különbség van a természetes számok kétféle oktatási módja között: az egyik alapvetően mennyiségi szemléletet tanít: ez itt 1 alma, 2 alma, 3 alma, stb., ez az általános, és valljuk be kézenfekvő módszer. A másik módszer egy egészen más szemléletet sugároz, és lényege az, hogy ez itt 1 alma, ezt vághatom kétfelé, háromfelé, stb. Az árnyalatnyinak tűnő különbséget mégis egy világ választja el egymástól. Az előző módszer szerint tanítva azt sugalljuk a gyerekeknek, hogy “minél több, annál jobb”, hiszen két alma nyilvánvalóan nagyobb nyereség, mint egy alma, ez egy mennyiségi szemlélethez vezet(ett), ami korunkra valóban nagyon jellemző. A másik megközelítés azt sugallja, hogy mivel egy alma nyilván értékesebb, mint fél alma, ezért az egység, az összetartozás érték, a teljesség magasabb minőségi fokozat, mint a töredékesség. A mai ember képtelen megőrizni a természettel, családdal, kultúrával való egységét, közösségét, harmóniáját. A kisebb egység (személy) képtelen magasabb rendű szerves egységbe tömörülni, és ez visszahat a személy belső egységére is. Ezért napjainkban az egység (közösség) nagyon gyakran szervetlen, mesterséges, másokat kirekesztő (szekták), és ez a jelenség sokak szerint szoros összefüggésben van a matematikával, nevezetesen a természetes számok oktatásával, a kapcsolat valószínűleg nem okozati, hanem párhuzamos.

Az egy mindig is az egységet, a teljességet, az egészséget, az isteni szférát szimbolizálta, ahol minden együtt van, ahol az ellentétek is békésen megférnek egymás mellett, nincs idő, és tér, tehát a teremtés előtti állapotot jelképezi, mikor “még nincs sem lét, sem nemlét”, és az isteni princípium még önmagában áll, vagyis még nem zuhant az anyagba. (Sokak szerint mivel az 1 szám az isteni princípium teremtő, fallikus erejét szimbolizálja, ezért az alakja sem véletlenül alakult ki. A római számok nyilvánvalóan a mennyiségi szemléletet képviselik.) Ha azonban az “almát” valahány részre bontjuk, már megtörik az egység, különválik az objektum és a szubjektum, megjelenik a külső, vagyis a tér. Az, hogy azt a bizonyos almát (a Teljességet) hány részre bontjuk, már meghatározza a részek egymáshoz való viszonyát.

A kettő az eredeti egység kettétört, önmagával meghasonlott változata, ezért a 2 a konfliktus, a szembenállás száma. Ahol ketten vannak, ott mindig a különbségek kerülnek előtérbe, az ami elválaszt, és nem az, ami összeköt, a kettő ezért a békétlenség, a háború száma. Ha teljes világot két részből állónak tekintjük, akkor mindig ellentétekre kell hogy visszavezessük: külső és belső, jó és rossz, hazai és külföldi, idealista- realista, stb.

A három a harmónia száma. Itt az ellentétek újra egyesülnek, megszűnik a különbség jó és rossz, kint és bent, fent és lent között, és egy magasabb egység jön létre. A 3 a szintézis száma, a szépségé, a boldogságé.

A négy megjelenése teljesen váratlan és megmagyarázhatatlan, hiszen az egység a 2-ben felbomlott, majd a 3-ban újra helyreállt, itt vége szokott lenni a történetnek. Európai kultúránkban a tudatalatti keresztény történelemkép a 3-ra épül (pld. Szentháromság), ez a 3asság megjelenik úgy is, mint időfelfogás: a teremtés, bűnbeesés, megváltás befejezett története, ami párhuzamos azzal a folyamattal, hogy teremtés, élet, világvége (halál). A napjainkra jellemző világvége várásban tehát egyrészt a 3-as számra épülő világkép, másrészt a harmóniára való erős vágy bújik meg tudat alatt. A nyugati filmipar is ezt a szemléletmódot sugározza avval, hogy a történetek happy-enddel végződnek, és a nézőben így az az illúzió ébred, hogy ezáltal minden megoldódott. Az európai zene is legtöbbször 3 tételből áll, ellentétben a keleti zenével, ahol ez nem jellemző. A 4-es szám tehát véget vet ennek az illúziónak, és egy újabb fejezetet nyit, vagyis az egység újra megbomlik, és feltételezhetjük, hogy ez így megy majd a végtelenségig. A 4 tehát a végtelen, ciklikus idő szimbóluma, körforgásé, a lélekvándorlásé. Ezért van négy évszak, négy égtáj (forgó égbolt), és négy elem (föld, tűz, víz, levegő), hiszen az anyag alkotóelemei is állandó körforgásban vannak.

Az öt az ember száma, ahol a végtelen tér (4) középpontot, értelmet nyer (sors), és így a harmónia újra helyreáll.

A hat az anyag száma, ahol az ember elveszhet, eltévedhet, vagyis engedve a csábításnak megfeledkezhet sorsáról. Ezért a hat a vénuszi szépség száma, a nőiség csábító aspektusáé.

A hét ezzel szemben a beavatás száma, ahol megszűnik a varázslat, lehull a fátyol, kinyílik a szem, tehát újra visszaáll az eredeti egység. Ezért van hét fátyol, hét ajtó, hét lépcsőfok, és hét próba (a hétfejű sárkány is a helytállást megpróbáló hétfokú beavatási aktust jelképezi).

A nyolc a szerencsétlenség, a tragédia száma. Megértéséhez már felhasználható az, hogy hogyan áll elő szorzat alakban: 8=2×4, tehát a konfliktus és a végtelenség együtt. A nyolc pozitív aspektusában az áldozat száma, ezért Krisztus jelkép.

A kilenc = 3×3, tehát a harmónia magasabb oktávja. A 9 más szempontból is jelentős , ugyanis a 10-nél nagyobb számok szimbolikus jelentéstartalmának megállapításánál szokás volt eljárni úgy, hogy a 10-es számrendszerben felírt szám számjegyeit összeadták, majd az így kapott számét is addig, amíg 10-nél kisebb számot nem kapunk. Az eredeti szám jelentése azonos a kapott száméval. Ennél a műveletnél 9 különböző eredményt kaphatunk, és a 9 egységelemként működik ennél a műveletnél, melynek neve redukált összeadás.

Példa: 29~2+9=1 1~1+1=2

A 9 pedig azért egységeleme ennek a műveletnek, mert bármely számhoz kilencet adva a tízesek száma 1-gyel nő, az 1-esek száma pedig 1-gyel csökken.

Ezen megfontolások után tehát a 10 az 1-nek felel meg, a 11 a 2-nek, a 12 a 3-nak, és így tovább.

Általánosan elmondható, hogy egy szám minél nagyobb, annál távolabb van az eredeti egységtől, tehát annál alacsonyabb minőséget képvisel (objektivizálódik: eltávolodik az ideálistól, az eszményitől, világivá lesz), az eredeti egység azonban időnként újra megjelenik, de csak mint egyre halványabb emlék, az eredetinek csak árnyéka. A páros számok feminin jellegűek, a páratlanok maszkulin jellegűek. Ez a megkülönböztetés természetesen levezethető abból, hogy a számok jelképrendszere egy hímelvű társadalom gondolkodását tükrözi, ahol a férfi önálló (páratlan), míg a nő csak a férfi tartozéka, tehát egyedül nem létezhet, illetve a többnejűség esetén kénytelen megtűrni feleségtársait is. Meg kell jegyezni, hogy a számosodás, teremtődés, anyagiasodás, objektivizálódás folyamatát nem szabad balesetként, degradálódásnak értelmezni, hanem ez egy természetes, szükségszerűen lejátszódó folyamat, ami lehetővé teszi, hogy az Egy megnyilvánuljon, e megnyilvánulás célja pedig a végtelenben megjelenő infinitezimális szubjektum. Ebben az értelemben a feminin jelleg (ahol az egység felbomlik) sem alacsonyabb rendű. A belső egységbe visszavezető út egyaránt vezet át feminin, és maszkulin állomásokon. Az 1-9-ig terjedő számok, és az ezeknél nagyobb számok között van egy nagyon lényeges különbség: a 9-nél kisebb számok az Egy emanációinak tekinthetők, és szimbolikus kapcsolat van közöttük és pld. a zsidó misztika arkangyalai, vagy a Jung-i archetípusok között, míg a 9-nél nagyobb számok a teremtmények szimbólumai, akik mindig alá vannak rendelve a felsőbb hatalmaknak.

Meglepő, hogy a fenti számszimbolikával egybecseng Az ördög kilenc kérdése c. magyar népmesében olvasható számértelmezés. A főhőst próba elé állítja az ördög: minden számról el kell mondania, hogy mi a jelentése. A főhős a következő válaszokat adja:

1: Egy isten az égben, egy nap az égen, egy feje van minden embernek. (Említettük, hogy az egy istenszimbólum, ahogy a nap is.)

2: Akinek két ép látó szeme van, az mindent láthat a nap alatt. (Fontos, hogy a nap alatt, hiszen a kettősség csak az anyagi világra jellemző, a transzcendens világ egységes.)

3: Amely házon 3 ablak van, az elég világos. (A megvilágosodásra, vagyis a harmadik szem kinyílására utal.)

4: Négy kereke van egy szekérnek, több nem is kell. (A 4 a körforgás száma.)

5: Öt kézujj elég a kardnak markolatjára. (A kard csak akkor a viszály szimbóluma, ha az bárkinek a kezébe kerülhet, eredetileg a király attribútuma volt, aki uralkodik, Kínában a király neve: a 4 világtáj ura. Az 5 tehát a királlyal áll összefüggésben.)

6: Akinek jó hat ökre van, szánthat vethet, arathat, erdőre járhat baj nélkül. (Az ökör vénuszi állat, az asztrológia a Bika hónapot a Vénusz uralma alá sorolja. Szántás: földiesség, az erdő pedig az eltévedés helye. A buddhista filozófia is erdőhöz hasonlítja a töredékes létet, nirvána azt jelenti: ki az erdőből.)

7: Akinek hét lánya van, főhet a feje, míg rendre férjhez nem adja őket. (Lényeges , hogy rendre kell férjhez adni őket, vagyis sorra végigjárni a beavatás 7 fokozatát.)

8: Akinek nyolc asztagja van a csűrben, annak soha nincs gondja kenyérre. (A kenyér áldozati étel, a keresztény misztikában Krisztus teste, a 8 pedig az áldozat száma.)

9: Akinek 9 szalonnája van a kéményben, az soha nem szalad a szomszédba zsiradékért. (Nem kell a szomszédba menni, azaz megvalósult a belső teljesség.)

Láthattuk, hogy a számok keletkezése a világ keletkezésével áll párhuzamban. Ezen megközelítés alapján azonban az Egy nem tekinthető számnak, hanem a számok forrásának. És a régiek nem is tekintették annak. Az első szám a kettő, az Egy nem teremtett, nem keletkezett, az az Egy. Ebben az összefüggésben most már világosan kirajzolódik a pithagoraszi mottó értelme: a teremtés a sokasodással analóg (Szaporodjatok és sokasodjatok!), és a számok létrejöttével hozható párhuzamba, nem csak a létük ténye, de értelme is.

Abban a pillanatban, hogy megfeledkezünk az Egy értelméről, a számok értelméről is meg kell hogy feledkezzünk, és a teremtés értelméről, céljáról is. Ha az Egyet egy sorba soroljuk a többi számmal, és őt is számnak tekintjük, megfosztjuk jelentőségétől, és magunk is eltévedünk. Plotinosz szerint (Enn. V. 6/4) “…a kettő nem két egyes együtt, az Egyből csak egy lehet. Az a másik ott valami más.”

Ha az Egyet számnak tekintjük, akkor felmerül a kérdés, hogy mi van az egy előtt? Ha nem számnak tekintjük az Egyet, hanem a teljesség szimbólumának, akkor nyilvánvalóan értelmetlen egy olyan kérdés, hogy mi lehet teljesebb a teljességnél? Semmi. Ha viszont számnak tekintjük az Egyet, akkor a válasz nem az, hogy semmi, hanem az, hogy A semmi. Vagyis a 0. A nulla megszületésének ez az előfeltétele. Innen már csak egy lépés a negatív számok megalkotása, ami lefordítva azt jelenti, hogy semmi sem abszolút, mindennek megvan a maga ellentéte, vagyis, a Teljesség-, Egészség-, Egység-központú világképből így jutunk el a teljes relativizmushoz aminek a középpontjában a 0 áll: a nihil, a semmi. A végtelen számegyenes továbbgondolása a descartes-i koordinátarendszer, aminek a középpontja és origója (eredete) a 0, a semmi. De semmiből nem lesz valami, ezért az olyan világ, amelynek nincs középpontja, vagy a középpontja a semmi, az nem is létező. Ennek ellenére a mai kor világképét és társadalomképét is a 0-központúság jellemzi: ősrobbanás-elmélet, demokrácia. A 0 jele összefüggésben áll a saját farkába harapó kígyó képével, ami a középponttalanság jelképe. A mínusz jel szintén a kígyóra utal, míg a pozitív számokat jelző + jel középpontot határoz meg.

Hamvas Béla szerint egy kultúra színvonala lemérhető azon, hogy milyen jelentőséget (jelentést) tulajdonít a számoknak. Mai civilizációnk a matematika azon eredményeire épül, amelyeket az a szemléletváltás hozott létre, mely szerint a számok jelentésével kár törődni, inkább a műveletek eredményei a fontosak. Innen ered a számfogalom bővülése, a valós analízis, az integrálszámítás fejlődése, amik nélkül ma mérnöki tudományok nem léteznének. Őseink kultúrája viszont a számmisztikára épült, ez alapján építették épületeiket, melyek miatt ma is tiszteljük őket. Hogy Hamvas B. mennyire komolyan gondolta fenti kijelentését, azt jelzi, hogy egy egész könyvet (Tabula Smaragdina) írt, melyben semmi másról nincs szó, mint arról a három számról, hogy 1,2,3.

Természetesen, ha a teremtés szoros összefüggésben van a matematikával, akkor az üdv megközelítése is lehet matematikai. Erre is számos példát találunk a misztikusok hagyatékában. A töredezettség analóg a kárhozattal, a kiteljesedés az üdvvel. A régiek az ellentétek újraegyesítésében látták a kibontakozás lehetőségét: coincidentia oppositorum (Cusanus), matematikai nyelven: a kettősségek egyesítése, vagy a kör négyszögesítése, hiszen a kör az égi tökéletesség, a négyzet a föld a négy világtájjal. A zsidóság szimbóluma, a hatágú csillag két egyenlő oldalú háromszögből áll elő, melyek közül az egyik csúcsával lefelé áll, és a földet jelképezi, míg a másik csúcsával felfelé, és az égi szférát. Az egyiptomiak piramisainak is volt egy szimbolikus jelentése: felül helyezkedik el az egyedül álló csúcs, alatta a sokaság, jelezve, hogy az egység több mint a mennyiség. Hérakleitosz is ezen a véleményen van, mondván, hogy “…nekem az egy több mint tízezer.” Hasonló szemlélet hozta létre a görögök azon mondáját, melyben Dionüszoszt a titánok széttépik, majd Zeusz újra összeforrasztja tagjait. (A misztérium az egyiptomiak emlékezetében is él, ahol a szereplők: Ozírisz, Szeth és Izisz).

A számok mellett a szögeknek is tulajdonítható szimbolikus jelentés. A hagyományos asztrológia szimbólumrendszerében a szögek jelentése a számok jelentésének ismeretében már könnyen levezethető. Minden szög amely 360o/n alakú, ahol az n természetes szám, akkor az adott szög jelentése megegyezik n jelentésével, vagyis attól függ, hogy hányadrésze a teljességet szimbolizáló körnek. Ebben a megközelítésben a 180o a 2-nek felel meg (oppozíció), a 120 foknak a 3 (trigon), és így tovább, a jelentésüket már említettük. Mindez a megfelelés is azt támasztja alá, hogy a régiek számfogalma nem az összeadáson alapult, hanem az egész (egy) felbomlásán.

Hol a világ közepe? (Térszemlélet és világkép)

Térszemléletünk nagyrészt az iskolai matematika-órán alakul ki, és a térszemlélet szoros összefüggésben áll a világról alkotott képünkkel, annak igaz voltával. Sajnos a mai hétköznapi ember világképe, és térképzete nyugodtan nevezhető primitívnek, és ebben a matematikaoktatásnak jelentős szerepe van.

A mai ember térszemlélete gyakorlatilag az euklideszi geometrián alapszik, aminek ismerete sokak szerint vele születik mindenkivel. Az euklideszi geometria a descartes-i derékszögű koordinátarendszerrel analóg, vagyis a társadalom túlnyomó többsége abban a hiszemben él, hogy világunk egy derékszögű koordinátarendszerben helyezkedik el, vagyis létezik egy abszolút és objektív tér, amiben a jelenségek lezajlanak. A newtoni klasszikus mechanika is egy ilyen térben számol. Az elmélet szépséghibája csak annyi, hogy nem igaz, és a valóság egészen másképp működik. A modern fizika térképzete egészen más, és jobban közelíti a valóságot. Ennek ellenére sem az általános iskolában nem tanítják a modern kutatási eredményeket, sem a középiskolában (vagy csak említés szintjén) arra hivatkozva, hogy matematikailag nem elég képzettek a diákok, és anélkül nem lehet megérteni. Még ha ez igaz is, a relativitáselmélet lényegét, következményeit, és jelentőségét minden embernek jogában áll ismerni, és az iskola felelős azért, hogy ezzel mindenki megismerkedjen.

A descartes-i tér középpontja az origó, de mivel a koordinátarendszerben a műveletek tetszőlegesen eltolva is elvégezhetők, ezért a descartes-i tér csak pszeudo-középponttal rendelkezik, vagyis nincs középpontja. A tér abszolút, objektív és szemlélőtől független. A valóságban ez csak egy teljesen üres térre igaz. Ha a valódi térben bármit elhelyezünk, akkor az már módosítani fogja a tér szerkezetét, tehát a tér nem abszolút, hanem a térben elhelyezkedő elemek határozzák meg a struktúráját. Minden anyagi részecske olyan gravitációs teret hoz létre maga körül, aminek ő maga a középpontja, ugyanakkor a térnek a részecske helyén szingularitása van, tehát bizonyos értelemben véve a részecske maga létrehoz egy teret, de ő maga nem tartozik bele. Ugyanígy a fekete lyukak és az Őstojás belsejében is szakadáspontja van a térnek, ezért a fizikai törvények ott nem érvényesülnek. (Az ősi világfelfogások közül számos vallott ezzel egybecsengő elveket, mondván, hogy a fizikai világ a szubjektum kivetülése, tehát a szubjektum hozza létre, ám a szubjektum maga transzcendens marad.) Ugyanakkor világunkban számtalan részecske van jelen, és a valós gravitációs tér számtalan szingularitással rendelkezik, vagyis számtalan középponttal, az eredő tér pedig ezen függetlenül létrehozott terek szuperpozíciójaként jön létre.

A világnak tehát nem egy közepe van, hanem minden létező pontja középpont. Ez látszólag ugyanaz, mint a descartes-i tér esetében az, hogy akárhol lehet a középpont, ám mégis óriási különbség van a két felfogás között, hiszen a valós tér nem homogén. Szintén Hamvas Béla mondja: “A világ számtalan tengely körül forog egyszerre összehangzó idő mértéke szerint”.

A régiek számos helyen emeltek nagyméretű kőtömböket, mondván, hogy itt a világ köldöke (közepe), vagyis nem tekintették ellentmondásnak azt, hogy a világnak több középpontja is lehet. A valós (természetes) tér szerkezete strukturált, vagyis hierarchikusan épül fel. Minden egységnek megvan a maga középpontja, de az őt felépítő egységek is rendelkeznek középponttal. Ez a fraktális szerkezetre emlékeztet, amiről már volt szó, és említettük, hogy a fizikai (természeti) világ minden szintjén megjelenik a fraktális szerkezet, és ez vezethetett oda, hogy az őskori ember térképzete nem euklideszi volt, hanem meglepő módon sokkal közelebb állt a mai, modern felfogáshoz. Fraktális térszemléletükkel magyarázható (és nem primitívségükkel) sok furcsának tűnő mozzanat. Például az etruszkoknál általános gyakorlat volt, hogy leölt áldozati állatok májából jósoltak. A newtoni-descartes-i térfelfogásban ez őrültségnek tűnik, ám a fraktális térszemlélet alapján logikus, hiszen itt a rész analóg az egésszel, vagyis kozmikus jelenségek leképeződnek a mikrokozmoszban. Jadzsnyavalkja, az ókori indiai bölcselő az Upanisadokban nagyon szépén fogalmazza meg korának térszemléletét: “A Brahman mindennél kisebb, kisebb mint az árpaszem, kisebb mint az árpaszem szeme. Ugyanakkor a Brahman mindennél nagyobb, nagyobb mint ez a világ, nagyobb mint az összes világok együttvéve.” Szintén az Upanisadokban olvasható:

Teljes az ott, és teljes az itt,
teljesből teljes felemelkedik,
teljes a teljestől elszakad,
teljesen mégis megmarad.

A minden pont középpont elve a fizikai terek esetében más szituációban is felbukkan: a hullámterek témakörében. A Huygens-Fresnel elv szerint egy hullámtér képét a tér pontjaiból (mint középpontokból) kiinduló elemi hullámok összegeként kapjuk meg. A fizikusok legfőbb jelenlegi törekvése egy olyan átfogó elmélet létrehozása, ami magába foglalja mind a kvantummechanika, mind a relativitáselmélet eredményeit. Még nem tisztázott, hogy a Huygens-Fresnel elv összekötő kapocs lehet-e a két elmélet között, de feltűnő párhuzam a két elmélet között, hogy a relativitáselmélet létrejöttében is meghatározó szerepet játszott a fényhullámok vizsgálata, ill. a kvantummechanika is a részecskék hullámtermészetéből indult ki.

Nem fizikai, hanem felsőbb matematikai kapcsolódási pont a minden pont középpont elvhez az ultrametrikus tér. Az ultrametrikus térben nem a hagyományos háromszög-egyenlőtlenség érvényesül, hanem az ultrametrikus háromszög-egyenlőtlenség, mely szerint:

d(x,y) <= max ( d(x,z), d(y,z))

Egy ilyen térben bebizonyítható, hogy a gömb minden pontja középpontja is egyben. A végtelen sorozatok ultrametrikus teret alkotnak azzal a távolságdefinícióval, hogy két sorozat között a távolságot a d=n-1 jelenti, ahol a két sorozat első n eleme egyezik meg. Ilyen végtelen sorozattal adhatók meg pld. a (köztudottan fraktális szerkezetű) faalakzatok ágvégei, ahol a sorozat elemei az elágazások irányát jelzi.

Térszemléletünk szoros összefüggésben van az időről alkotott felfogásunkkal. A mai (hétköznapi) ember az időt lineárisnak fogja fel. Ezzel ellentétben a relativitás-elmélet szerint nincs objektív, abszolút idő (ahogy tér sem). Az időt a régiek a térhez hasonlóan fraktálisnak tekintették: úgy gondolták, hogy az idő egymásba ágyazott kisebb-nagyobb ciklusokból áll. Valóban: a természetben megfigyelhetők nagyobb ciklusok (évek), amik kisebb ciklusokból állnak (holdhónap), azok pedig még kisebbekből (napok). Az indiaiak időciklusai között az éveken túl voltak még több millió évet felölelő kalpák, sőt még ennél is hosszabb időtartamok. A nyugati kultúra is ismer nagyobb időciklusokat: világév, világhónap, ami a precesszióval van összefüggésben. Egy világhónap kb. 2000 esztendőt ölel fel, a világév pedig 24 000 évet.

Matematika és szabadság

Tóth Imre neves matematikus, ám ő mégis filozófusnak tartja magát. A filozófia és a matematika iránti párhuzamos vonzódását talán édesapjától örökölte, aki kabbalista volt. (A kabbala tanításában valóban mindig együtt szerepeltek matematikai és filozófiai fejtegetések.) Véleménye szerint térszemléletünk fejlődésében nagy jelentőségű lenne a Bolyai-féle hiperbolikus geometria széleskörű tanítása. Bolyai eredményeinek nagysága amellett, hogy megdöntötte az euklideszi tér hegemóniáját, és egy, a valóságot pontosabban leíró tér képzetét nyújtotta, abban áll, hogy felhívta a figyelmet arra, hogy nem egyetlen térfelfogás létezik, vagyis nem geometria van, hanem geometriák. A valóságról csak elképzeléseink vannak, nem pedig abszolút tudásunk. Ezért volna szerencsés az iskolában is így kezdeni: “Nagyon valószínű, hogy a világ így és így működik, de nem biztos, ezért próbáljunk olyan elképzeléseket alkotni, amelyek másképp írják le a valóságot.” A nem-euklideszi geometria elfogadása hosszú ideig váratott magára. Sem Gauss nem merte publikálni, sem az idősebb Bolyai nem támogatta fia elképzeléseit. Mint utóbb kiderült, aggodalmaik jogosak voltak, a legképzettebb matematikusok is képtelenségnek tartottak egy olyan geometriát, amelyik nem az euklideszi elveken nyugszik. Gyakorlatilag a II. világháborúig folytak a viták a hiperbolikus geometria mellett és ellen érdekes egybeesés, hogy a nácizmus útjára térő Németországban volt a legerősebb az ellenállás, nem véletlenül, hiszen sokak szerint a nem-euklideszi geometria térhódítása az emberi szabadság kibontakozásával áll kapcsolatban. Tóth Imre így fogalmaz: “A matematikán belül megvalósult a szabadság öntudata: a geometria szelleme tudatára ébrest annak, hogy szabad. Ha elismerjük a nem-euklideszi geometria létjogosultságát, akkor két egyaránt bizonyíthatatlan, egymásnak ellentmondó axiomatikus tételt fogadunk el igaznak.” Az ókor tudata magától értetődőnek tekintette az euklideszi geometria igazságát, és azt egyetlen, abszolút, megdönthetetlen igazságnak tekintette, az abszolútum pedig kijelöli a szabadság határait. Sőt, úgy gondolták, hogy ez az igazság Isten szabadságát is korlátozza. Még Isten sem tagadhatja, hogy a háromszög szögeinek az összege 180 fok. Már Maimonidésznél megjelenik a gondolat: A geometria törvényei Isten fölött állnak, Isten nem teremthet nem-euklideszi világot. Ugyanezt a gondolatot veszi át Szent Tamás: Isten nem képes geometriai csodára, vagyis nem képes olyan háromszöget alkotni, amelynél a szögeinek az összege nem 180 fok.

A nem-euklideszi geometria megszületése és létjogosultsága bizonyítja, hogy a szubjektum szabadsága felette áll a matematika igazságainak, sőt forrása annak. A szabadság nem abban áll, hogy két ellentmondó igazság közül választhatunk, hanem ezeket egyszerre igaznak és elfogadhatónak tarjuk. Ez a szabadság nem a kényszer hiányában, hanem annak jelenlétében, annak ellenszegülve cselekszik, és hoz létre egy új világképet. Ezt a lépést nem volt könnyű megtenni, a már megtett lépést pedig elfogadni még nehezebb, hiszen könnyű zseninek lenni, ha valaki annak születik, de nincs nehezebb, mint a zsenialitást befogadni, hiszen ekkor az embernek önmaga fölé kell emelkedni, és azzá kell válni, ami nem vagyunk. A nem-euklideszi geometria elfogadása nem egyszerűen egy paradigmaváltást jelentett, hanem az emberi tudatállapot megváltozását, fejlődését.

Természetesen vannak olyan igazságok, amelyeket nem lehet megfelelő előképzettség nélkül bevezetni az iskolában, de számos olyan lehetőség is nyílik, ahol a szemléletformálás szinte játékos formában megoldható. Edwin A. Abbot könyve: a Síkföld taglalja azt a problémát, hogy milyen lehet az élet egy olyan világban, ahol csak 1 vagy 2 dimenzió létezik. Síkföld lakói csak szakaszokat látnak, és egy zárt síkidomba (szekrény) képtelenek behatolni. Ezért földöntúli lényként tisztelik azt a lényt, aki egy háromdimenziós világból érkezett, és képes megtenni azt, hogy egy síkidomot (egy tárgyat) belehelyez egy másik síkidomba (a szekrénybe), vagyis eltünteti a világból, és a tárgy megjelenik a szekrényben. Az író felteszi a kérdést: elképzelhető-e, hogy a mi világunk is csak egy szelete egy 4 vagy több dimenziós világnak, és ha egy 4 dimenziós lény látogatna el hozzánk, akkor az ő képességeit mi tartanánk csodáknak. Csak egy végtelen dimenziós teret nem lehet már túlszárnyalni, itt a pontokat már nem 1,2,3,4, stb. koordinátával adjuk meg, hanem végtelen sorozatokkal. Egy kontínuum számosságú dimenzióval rendelkező tér pontjai pedig függvények lehetnének.

Abbot szerint a 0 dimenziós tér lakója ártatlan gyermeki boldogságban él. Itt nem válik ketté szubjektum és objektum, minden egy.

A végtelen számosságok vizsgálata is jelentősen tágíthatja térszemléletünk határait. Itt újra megjelenik a részben az egész elve: hiszen tudjuk, hogy a végtelen számosság esetén a rész elemszáma ugyanannyi, mint az egészé. Filozófiai értelemben: a töredezettség nem feltétlenül jár veszteséggel, a rész izomorf az egésszel. A régiek ezt az elvet nem izomorfiának, hanem analógiának nevezték, és az egyiptomi Tabula Smaragdina úgy fejezi ki, hogy “Ami fent, az lent.”

Itt elérkeztünk egy nagyon fontos kérdéshez. Hozzájárulhat-e a matematika a létezésről alkotott felfogásunk fejlődéséhez? Ma a matematikát az egyenletek uralják (legalábbis az iskolában). Az egyenletek, az egyenlőség pedig azt sugallja, hogy minden csak önmagával egyenlő (A=A). A hindu misztikusok a legfontosabb kérdésnek azt tartják: “Ki vagyok én?” Erre egy mai, ember azt válaszolja: “Én én vagyok, és kész!” Ezzel szemben a misztikusok azt mondják, hogy az ember több, mint önmaga, egy a világ egészével, a Lényeggel. A matematika is gazdag megfelelési lehetőségeket tart számon, ilyen az izomorfia, vagy a homomorfia. Itt utalunk a dolgozat elején említett Buddha-idézetre, mely szerint az önmagába zárt lét üres.

A szabadság matematikai vonatkozásai felvetnek egy kérdést: meddig terjed a matematikus szabadsága? Véleményem szerint erkölcsi határai vannak csak: Pithagorasz korában a matematika eszköz volt arra, hogy megismerjük a világban uralkodó rendet, majd ezt felismerve igazodjunk hozzá, és tudatosan részt vegyünk a kozmosz rendjében. Ezzel szemben ma a matematika eszköz arra, hogy a világ törvényeit megismerjük, majd saját parciális céljaink elérésére használjuk fel. Hogy ez a jövőben megváltozik-e, az az oktatáson múlik.

Kovács Attila

1997/25.