A szférák zenéje és a matematika

Püthagorasz és a kelet

Henoch fia, a geometria és a hét szabad művészet feltalálója építette az első színházat még az özönvíz idején. Ő és testvérei tudták, hogy Isten haragja elárasztja majd a világot, ezért minden tudásukat hét oszlopra vésve rögzítették, majd elásták. Ezek egyikét a vízözön után Hermész Triszmegisztosz, a másikat jóval később Püthagorasz találta meg. Leon Battista Alberti, reneszánsz író szerint “van valamilyen végső bölcsesség, utolsó titok, melyet minden idők minden népének bölcsei ismertek és egymásnak adtak tovább.” Talán ennek letéteményese lehetett Püthagorasz, vagy akár Einstein is, aki elfogadta Püthagorasz érvelését, miszerint az igazság független az emberi lényektől? Nem jelent-e Püthagorasz egy titkos láncszemet az óind bölcselet és életvitel, valamint a görögség és ezen keresztül egész Európa kultúrája között?

A misztikus élete

Püthagorasz (c. i.e. 582-493) ión származású, Szamosz szigetén született. Egyiptomban hosszasan időzött, s kivételesen felvették a papi rendbe. Amikor a perzsák meghódítják Egyiptomot, hét évre maga is babiloni fogságba kerül. Ekkor ismerkedik a káldeusok vallásával, filozófiájával, csillagászatával és – a saját munkásságában is oly fontos – zenéjével. Innen juthatott tovább Perzsia akkori keleti szomszédja, India földjére, melynek filozófiája, számelmélete, gyakorlati életvitele, de ruhaviselete is tükröződik Püthagorasz életében. Talán innen tanulta a lélekvándorlás hitét, vagy a vegetárius táplálkozás gyakorlatát, s meglepő módon szoborportréja turbánnal a fején ábrázolja, ami egyáltalán nem volt jellemző viselet görögföldön, Indiában azonban annál inkább. Indiai hagyomány a mester-tanítvány kapcsolat eleven volta is, amit Thalészhez fűződő kapcsolatában növendékként, tanítványai felé pedig mesterként gyakorolt. A tudományos és vallásos gyakorlatokat ötvöző, kolostorszerű életközösség máig jól ismert intézmény Indiában: ez az ásram, vagy menedék, ahol a mester növendékeivel együtt él.

Keleti fogságából hamarosan hazatér, 529. táján pedig a dél-itáliai görög gyarmatra, Krotónra költözik. Itt alapítja meg tudós akadémiáját. A tagoktól megkövetelte a törvénytiszteletet és a következetes, erkölcsös életet. A tagok tartózkodtak a húsételek fogyasztásától, maga Püthagorasz a lélekvándorlást vallotta, megvoltak titkos szertartásaik, beavatási-, eskü- és egyéb formuláik. A tagok hosszú hajat és fehér gyapjúköntöst viseltek, ami akár a jógík viselete is lehetett volna. A legenda szerint a jelöltek csak akkor nyerhettek bebocsátást a rendbe, ha három nap három éjjel hajlandóak voltak a bejárat kőlépcsőjén koplalni, úgy, hogy csak vizet vettek magukhoz. A megszokással szakítva női hallgatói is voltak, s Püthagorasz házigazdájának leányát, Theano-t vette nőül. Ő írta meg a tudós és misztikus első életrajzát, ami azonban sajnos elveszett. Akárcsak a korszakok többi nagy küldötte, Püthagorasz sem hagyott írott műveket az utókorra.

Misztikus filozófiai közösség volt ez az akadémia, de egyben titkos konzervatív politikai szövetség is. Püthagorasz tanait kezdetben számos görög gyarmatvárosban elfogadták, arisztokratikus nézetei miatt azonban összeütközésbe került a demokrácia képviselőivel. Zavargások törtek ki, annak ürügyén, hogy követői beszivárognak a politikai életbe (de miért volna ez baj egy demokráciában?). A lázongás során üldözték őket, a felkelők a közösség legtöbb tagját – nem éppen demokratikus módon – egyszerűen megölték. Püthagorasz végül Metapontionban telepedett meg, itt is halt meg 500 körül. Követői két ágra szakadtak: egyesek a misztikus tanokat inkább vallási jellegű közösségben gyakorolták, míg mások a matematikának, a tudománynak éltek. A szervezet az üldöztetés ellenére is fönnmaradt vagy kétszáz esztendeig, végül elenyészett.

Tanítása azonban fennmaradt: szinte változatlan formában jelenik meg Platónnál, majd a neoplatonistáknál, a VI. században pedig a kereszténység filozófiájába is sok eleme beépült.

Az akadémia tudományos eredményei máig hatnak. A geometria az ő tevékenységüknek köszönhetően formálódott tényleges tudománnyá, s Püthagorasz nevezte magát elsőként philoszophosz-nak, a bölcsesség tisztelőjének. Ő ismerte fel az irracionális számokat és a “kozmikus testek” a szabályos sokszögek által határolt testek (poliéderek) szerkesztési módját.

Thalész és Püthagorasz geometriai fölismerései nagyban befolyásolták a kor gondolkodását, melyben a későbbi természettudományok elődjét, a természetfilozófiai vizsgálódást még át-meg átszőtte a világ antropomorf és mitikus magyarázata. A mítosz még képes volt helyettesíteni vagy inkább alátámasztani, kiegészíteni a racionális okfejtést, s így olyan képlékeny, a mindenség hullámzó természetéhez igazodó magyarázatok alakultak ki, amelyeket éppoly nehéz lett volna bizonyítani, mint megcáfolni. Az archaikus világképben a valóság és a fantázia még szorosabban együtt élt, s ez a szemlélet a kor tudományosságát sem hagyta érintetlenül. Ez a szerves egymásrautaltság tükröződik Püthagorasz matematikájában is, amely egyfelől a világ valóságos, objektíve megragadható alapjaival foglalkozott, másfelől viszont elvont és misztikus számelméletet nyújtott, a számok eszmei természetére vezetve vissza a világ létét és működését, ezzel a misztika finom leplébe burkolva a legegzaktabb tudományt, a matematikát is. Eukleidész i.e. 300 táján a püthagoreus elméleteket is rendszerbe foglalta és egyben megfosztotta őket számmisztikai értelmezésüktől. Ez volt a matematikai misztika trónfosztása.

Zene és matematika

Püthagorasz mindent a számokra vezetett vissza. A természet rendjében és működésében kvantitatív összefüggéseket vélt felfedezni, s a természet törvényszerűségeit matematikai viszonyokkal leírhatónak tartotta. Empirikus módon ismerte föl például, hogy a bizonyos hosszúságok határozzák meg a zenei tónusokat és a harmóniát. Talán ez volt a matematika és a zene első találkozása, amely mind a mai napig újra és újra visszaköszön, elég csak Bartók muzsikájának a természet arányait tükröző, képletekben leírható matematikalitására, vagy a matematikusok oly gyakori zeneimádatára gondolni. Püthagorasz is bámulta a muzsikát, amit az érzelmek műveléséhez és a szenvedélyek fegyelmezéséhez a legalkalmasabb eszköznek tekintett. Összhangzat-elmélete, skálája meghatározó ajándék a mindenség e nagy harmóniájának, a zenének értői számára.

Úgy mondják, egyszer egy kovácsműhely mellett elhaladva arra lett figyelmes, milyen kellemes harmóniát – kvart, kvint és oktáv rezonanciát – keltenek a kovácsok kalapácsai az üllőn. A kalapácsokat megvizsgálva kiderült, hogy tömegük 4:3, 3:2, illetve 2:1 arányban viszonyul egymáshoz. Ebből arra következtetett, hogy a hangok különbözősége is visszavezethető a numerikus arányokra. Később megfeszített húrokkal kísérletezve ugyanezt figyelte meg. A zenében a széphangzású harmóniák arányai az 1, 2, 3, 4 számokkal írható le, ami a püthagoreusok isteni tetraktüszét, e szentként tisztelt négyes alakzatot adja, e számok összege pedig a tökéletes tíz.

A húrok arányait logosz-nak nevezték, s amikor ezek az arányok más-más húrhosszok esetében ugyanazt a harmóniát, konszonanciát eredményezték, ezt nevezték analogia-nak, ami azt jelenti: logoszonkénti (ana logon) egyenlőség. Innen ered az analógia kifejezés. S milyen bámulatos analógia a világteremtő hang, a logosz, és a muzsika csodahangjainak párhuzama!

A tökéletes tízes

A számok minden létező valóságnak elemei. Sain szerint: “A két egyenlő részre osztható számok a páros számok, női jellegűek, a két egyenlő részre nem bonthatók hím természetűek, ezek a páratlan számok. Az egy hímnős, sem női, sem férfi, sem páros, sem páratlan. A kettő az első női szám, a három az első férfiszám, logikus, hogy összegük, az öt a házasság jelképe. (Talán ezért mutatják be az indiai házasemberek a napi ötféle áldozatot?) A négynek sokféle jelentése van: az első négyzetszám, az igazság jelképe, az évszakok száma stb. Mivel az első négy szám arányával éppen a püthagoraszi szümphoniák (összhangzatok) jellemezhetők, ezért ezek összege, a tíz (1+2+3+4) már egy magasabb minőséget, a természet harmóniáját fejezi ki. Ennyi a szférák száma is (Univerzum, Szaturnusz, Jupiter, Mars, Nap, Vénusz, Merkur, Hold, Föld, Ellenföld).(1) … A püthagoreusok értékes kutatásokat is végeztek a számok közti kapcsolatok, törvények felderítésére, … s e vizsgálatok célja kezdetben a világ harmóniájának, sőt magának az isteni lényegnek a megismerése volt.”

A páros szám határozottság, a páratlan szám határozatlanság. Tíz alapelvük tíz ellentétpár szembeállítása: 1. véges – végtelen; 2. páratlan – páros; 3. egység – sokaság; 4. jobb – bal; 5. hím – nő; 6. nyugvó – mozgó; 7. egyenes – görbe; 8. világosság – sötétség; 9. jó – rossz; 10. négyzet – oblongum.

A tíz, a legtökéletesebb szám az első négy szám összege: 1+2+3+4=10. Ebben rejlik a világ titka, amit geometriailag a tökéletes háromszög, a szent tetraktüsz ábrázol. Püthagoraszék gyakran számoltak kis kavicsokkal, s a szent tetraktüsz ilyen kis kavicsokból, vagy pontokból álló háromszög, melyben az első sort egy pont alkotja, a másodikat kettő, a harmadikat három, a negyediket négy, azaz összesen tíz. Ez a szent tetraktüsz volt a szövetség jele, felvételkor a jelöltek erre tettek esküt. A számoknak geometriai alakot tulajdonítottak, így összekötötték az aritmetikát és a geometriát. Ennek alapján beszéltek síkbeli számokról, melyeknél a kavicsokat egy felületen rendezték el, míg a köbszámokat (1, 8, 27, 64, 125) térbelinek képzelték el.

A számoknak és törvényszerűségeknek nem csupán térbeli alakzatot tulajdonítottak, hanem szóalgebrába is foglalták azokat, a törvényeket mondóka formájában rögzítették. Ezek kimondható (logosz) számok, egységek, arányok voltak, a négyzet átlója (√2) viszont irracionális szám, végtelen tört, ezért ezt alogosz-nak, kimondhatatlannak nevezték.

Végül a számoknak szimbolikus jelentést is tulajdonítottak. Az egyes szám a pont, a kezdet, a kiterjedés nélkül létező. A kettő a két pont, amely egy vonalat határoz meg, a hármas szám a három pontból alakuló első síkidom, a háromszög szimbóluma, a négyes szám pedig nem más, mint az első test, a négy csúcsa által meghatározott tetraéder. Az egy, kettő, három, illetve négy pont által meghatározott entitások összege (tíz) kiadja a mindenséget. A tízes mellett a hármas számot is isteni tökéletességűnek tekintették, amely a kezdet-közép-vég folytonosságát szimbolizálja.

Püthagoreus kozmológia és etika

Püthagorasz a tízes számra vezeti vissza kozmoszát. A szférák méretei a zenei skála viszonyszámainak felelnek meg, innen a szférák zenéje. A hang magassága a húr hosszától függ, a harmónia tehát a számviszonyok függvénye – ez igaz a mindenség harmóniájára is. Minden természeti jelenség eredendően harmonikus. A mennyek tehát “zenei hangsor és szám” szerint épülnek fel, ezt vette át Kepler is kétezer évvel később, mikor a bolygók elliptikus pályáinak viszonyrendszerét vizsgálta.

A világot alkotó őselemek nem csupán Thalész elméletéből közismertek, hanem az óind bölcseletben is szerepelnek. A különbség csupán annyi, hogy a görögök négy őselemén túl az indiai bölcselet a mindenséget átható finom természetű ötödik elemről, az éterről is beszél. Talán Püthagorasz is innen merített, mindenesetre az őselemeket párhuzamba állította a szabályos geometriai testek háromdimenziós valóságával. Eszerint a földelem a hatlapú kockával (a hexaéderrel), a tűz elem a szabályos piramissal (tetraéderrel), a vízelem a nyolclapú oktaéderrel, a légelem a húsz háromszög határolta ikozaéderrel, végül az éter a tizenkét ötszög határolta dodekaéderrel állítható párhuzamba.

A világ sokrétűsége az egységes isteni teremtés harmóniájára épül, ez foglalja egységbe a mindenséget. Ez az isteni harmónia tükröződik a zenében, a számok tudományában, a csillagászatban és a világ erkölcsi rendjében is. Az emberi élet hivatásának e harmónia fölismerését tekintette, amely boldogságot, a létkörforgásból való szabadulást és örök életet biztosít. A világ isteni alkotás, s az embernek az a feladata, hogy állati természetét legyőzve bátorítsa lényének isteni részét. A test a lélek sírverme, csak büntetésből van a testben. Megtisztulni aszkézissel és szellemi tevékenységgel lehet: a filozófia, matematika, zene művelésével – ez utóbbi főként a harmónia megtapasztalásában segít.

Ez a harmónia tükröződik a püthagoreusok emberi viszonyaiban is. Ezek közül a barátságot tartották a legtöbbre. Püthagorasz azt mondta, a barátok közt minden közös, s aki a barátságot a ’javak és az érzések azonosságaként’ határozta meg. A püthagoreusok nem egyszerű emberi vonzalomnak tekintették a barátságot, hanem olyan egyetemes jónak, aminek mindenkire ki kell terjednie.

Püthagorasz matematikája filozófiai absztrakciónak is tekinthető, mely szerint az igazságosság lényegét a négyzetszám fejezi ki. Ezzel az aritmetika – túl a már említett geometriai jelentésen – etikai értékkel telítődik. Az erényeket is számokkal azonosították, a morált pedig az összhang egyre erősödő megnyilvánulásának tekintették.

“A püthagoreusok az erényt szépségként is értelmezték – írja Milagros Esteve. – A belső attitűd szépsége számukra a külső szépséggel is együtt járt. Iskolájuk megkülönböztető jegye az elegancia volt, egyfajta erkölcsi elegancia, mely a kifejezésmód zenéje volt a létezésben. A püthagoreusok eleganciája nem csupán a formai esztétikán nyugodott, hanem a filozófiai etikán és tisztaságon is.”

Az aranymetszés, a harmonikus arány Püthagorasz matematikájában és geometriájában éppoly fontos volt, mint világnézetében, zeneelméletében vagy etikájában. Filozófiájában az igazság kritériumának a számok és geometriai alakzatok belső harmóniáját tekintette. A vizsgálódások során fölmerülő problémákra nem azért keresett matematikai választ, mert pusztán a logikai módszert nem tartotta kielégítőnek, vagy az empirikus észlelést tekintette elégtelennek, hanem azért, mert a különböző ideák izomorfiáját, strukturális azonosságát kutatta. A jelenségek sokrétűsége mögött meghúzódó rejtett azonosságot a matematikai arányok, vagy a mértani alakzatok szimmetriája segítségével vélte megragadhatónak.

A számszerű arányok véletlen egybeesése, a helytelen analógia vagy a körülmények szubjektív értékelése, mint probléma cseppet sem zavarta a püthagoreusokat. Világuk egységes világ volt, teljes és tökéletes, melynek minden részletre kiterjedő rendezettségét a számok egyetemes harmóniájának törvényei biztosították, s amelyben nem volt helye a véletlennek. Naiv magabiztosság ez, vagy a látnok bizonyossága? Püthagorasz szabadon játszik a számokkal, merészen elegyíti a keleti miszticizmust és az egzakt tudományosságot.

Sokan vitatják, hogy a pitagorasz-tétel tőle származik, ráadásul ez a törvényszerűség Indiában jóval korábban ismeretes volt már. Az áldozati oltárok, illetve a templomok méretezése, tájolása során alkalmazták, a legkorábbi építészeti Sulba-szútrában ugyanezt a tételt az i.e. nyolcadik századnál korábban jegyezték le. Mikor – a legenda szerint – Püthagorasz megfogalmazta a derékszögű háromszög befogóira, valamint átfogójára állított négyzetek közötti arányosság törvényét, örömében az isteneknek szentelt nagy áldozatot szervezett, ezzel is a tudományos felismerés misztikus adomány jellegét hangsúlyozva.

Látnok vagy zavaros próféta?

Püthagoraszt kortársai sokszor zavaros prófétának tekintették, Platón is jobbára csak az életmódját dicsérte, Arisztotelész viszont már valódi tudósként ismerte el.

Ne feledjük, káprázatosan termékeny kor volt a Püthagoraszé. Az i.e. VI-V. század az akkori kultúrvilágban mindenütt hatalmas fellendülést, változásokat hozott. Ekkortájt működött az eleai iskola Hellászban, a közel-keleten Zarathustra perzsa vallásalapító, Kínában Lao-ce és Konfuciusz, Indiában Buddha és a dzsainizmust alapító Mahávíra, s ez az upanisad-bölcselet virágkora. Ez a szinte tobzódó szellemi pezsgés valójában egy nagy korszak, a földi aranykor lezárulása. Addig a világ mitologikus látására épülő, az írásbeliséget és történetiséget nem perdöntőnek tartó, egységes szemlélet volt a jellemző, s most a szellemi, tudományos, filozófia, etikai és vallási tanok jelölték ki az emberiség évezredekre meghatározott útját. Ebben nem kis szerepe volt Püthagorasznak, aki szinte utolsóként egyesítette az egzakt matematikát a harmonikus zenével, a titkos politikai társaságot a szentéletű közösségi léttel, a földit az istenivel.

Jegyzet:

1. Ez a képzelt bolygó egy olyan makrokozmikus központi tűz, amely körül az ismert bolygók keringenek.

Irodalom:

Colerus, Egmont: Pythagorastól Hilbertig, Franklin Budapest, én.
Görög gondolkodók 1. Thalésztól Anaxagoraszig, Kossuth 1992.
Hamvas Béla: Arkhai és más esszék, Medio Kiadó 2000 Szentendre
Milagros Esteve: Püthagorasz arany versei, Nuova Acropolis 210. szám, Spanyolország, ford. Szendrő Csaba
Mitológiai ábécé, Gondolat 1970.
Püthagoreusok, Akadémiai, Budapest 1982.
Sain Márton: Nincs királyi út! (Matematikatörténet), Gondolat, Budapest, 1986.
Seligmann, Kurt: Mágia és okkultizmus az európai gondolkodásban, Gondolat 1987.
Vadász Géza: Janus Pannonius két pythagoreus szellemű verse (?)
Vihra dévi: Püthagorasz (kézirat)

Rácz Géza

2003/35.