Óind matematika és lelki dimenzió

Emlékszem, egyszer apám félrehívott, s azt mondta: “Fiam, a matematikával mindent megmagyarázhatsz!” Racionalista volt jó atyám, számára Isten csak a műveletlen ember érzésvilágában létezett. Akkor hittem neki, s talán az ő szavai ösztönöztek a fizikai diploma megszerzésére. Időközben, úgy 1969 táján azonban történt valami országunkban (sokan még ma is azon gondolkodnak, mi lehetett az), ami eltérített az atyai jótanács szellemétől, és így ígéretes karrieremtől is.

Sajnálatos módon úgy érzem, átestem a ló túlsó oldalára. Sutba hajítottam a rációt, és minden ceremóniát nélkülözve, autodidakta “lelki emberré” váltam. A matematikára alapuló tudomány már semmit sem nyújtott. Mikor lelkem feddhetetlenségének napja évekkel később eloszlatta szentimentális érzéseim fellegeit, egy másik illúzióval is le tudtam számolni. Az első az atyai jótanács volt, a másik pedig az, hogy puszta vágyakozással is alaposabb ismereteket szerezhetek a valóság természetéről.

A matematika nem oszlathatja el az élet misztériumát, magának az életnek a megszüntetése nélkül, mert az élet titokzatos, kiszámíthatatlan és dinamikus – ez teszi az életet életté, emiatt érdemes élni. Elméleti módon kimagyarázhatjuk Isten létét, de így csak becsapjuk magunkat, egyenlőségjelet téve az én és a mindenség közé, ami pedig igencsak hibás számtani művelet.

A rációt nem vethetjük el, mielőtt ténylegesen megismernénk lelki mivoltunkat. Megkülönböztető képességünk segítségével legalább azt megérthetjük, mi az, ami nem tartozik bele a transzcendencia fogalomkörébe, s az ettől való eltávolodás, az elkülönülés jó indulás a lelki élethez.

A matematika csak manapság igyekszik megkaparintani Isten pozícióját, pedig létrejöttének idején – bármennyire hihetetlenül hangzik – lelki célokat szolgált a társadalomban. A fejlett lelki kultúrákban nem voltak ismeretlenek a matematikai törvények, de nem érezték szükségét annak, hogy a matematikával annál mélyebben foglalkozzanak, mint ami elősegítette istentudatuk fejlődését. A matematikában rejlő mérhetetlen erőtől megmámorosodva a későbbi kultúrák a természet leigázása érdekében felhasználták, sőt tovább kutatták ezeket az elveket. Ez a könnyelmű lépés arra int, hogy a bölcsesség több, mint pusztán az eszünk használata. Ezt igazolja a társadalom mai állása is. A ráció imádata elhomályosítja a szeretet ésszel szembeni egyértelmű felsőbbségét.

Az ősi kultúrákban általánosan elterjedt felfogás szerint a számoknak nemcsak gyakorlati értéke volt, hanem misztikus, vallásos jelentése is. A püthagoreusok is ezt vallották. Püthagorasz, a korszakos jelentőségű görög matematikus i.e. 500-at megelőzően már létrehozta ifjakból álló elit iskoláját, ahol magasabb matematikáját oktatta. Minden hallgatónak titoktartási fogadalmat kellett tennie. Sok hűséges követője akadt, akiknek a lélek öröklétét tanította, s az aszketikus egyszerűség fontosságát hirdette. A püthagoreus világkép középpontjában a vallásos elvek és a matematikai törvények harmóniája állt.

Az időszámításunk előtti harmadik században a másik kiváló görög, Arkhimédesz lendítette fel a matematikát. Egy neki tulajdonított megjegyzés szerint sok olyan dolog van, ami a matematikával nem foglalkozó embernek hihetetlen. Plutarchos viszont azt írta Arkhimédeszről, hogy a mindennapi élettel kapcsolatos technikai munkát – ideértve a mesterségeket is – alantasnak, hitványnak tekintette, s minden erőfeszítésével arra törekedett, hogy azokat a dolgokat kutassa, melyekben a szép és a jó nem kapcsolódik össze a szükségszerűvel. Platónhoz hasonlóan ő is megvetette a gyakorlati matematikát, bár annak is mesterévé vált.

A görögök azonban komoly problémával találták szembe magukat. Az oly hasznosnak bizonyult görög ábécé akadályozta a számolást. Bár a görög csillagászok és asztrológusok ismerték a hatvanas számrendszert és a nulla fogalmát, ezek használata mégsem terjedt túl számításaik körén, nem vált általánosan elterjedtté. Az egyiptomiak könnyedén tudtak ábrázolni nagy számokat is, de mivel nem ismerték a helyiérték-rendszert, jelkészletük igen bonyolult volt. A 968-as számot például 23 jellel tudták csak képezni. Bár a görögöket követő rómaiakat a mediterrán világ legfejlettebb államának, sikeres hódító hatalomnak tekintették, a számolás birodalmát még ők sem tudták bevenni. A számolás az abakuszt használó rabszolgák kézimunkája volt. Mindaddig sem a számolás, sem pedig a tudomány terén nem következett be jelentősebb fejlődés, amíg segítség nem érkezett keletről.

Az Indus völgyében, a világ legősibb civilizációja saját matematikai rendszert dolgozott ki. A védikus Sulba-szútrák (i.e. 5-8. század) “zsinór kódjai” (a sulba szó a mérőzsinórra utal) egyértelműen azt igazolják, hogy a legkorábbi ind geometriai és matematikai számításokat vallási-rituális célból végezték. Mikor a védikus látnokok költői látomása szimbólumokban is kifejeződött, megjelentek a precíz számításokat és oltárokat igénylő rituációk. Ezek nyújtottak módot a tudat meg nem nyilvánult világának elérésére. A Sulba-szútrák a Kalpa-szútráknak azt a részét alkotják, amely a vallási szertartásokhoz szükséges oltárok és térségek kimérésével valamint felépítésével foglalkozik.

Bár a védikus matematikusokat főként zseniális számtani és mértani számításaikról ismerik, az óind matematika alapja mégis a geometria. Az Indus völgyében talált leletek bizonysága szerint már Krisztus előtt 2500-ban is használtak mértani rajzeszközöket(1). Az algebra kezdetei a védikus papok építészeti geometriájáig vezethető vissza, amit szintén megőriztek a Sulba-szútrák. A szútrák pontos adatokat tartalmaznak a védikus vallási hagyományban oly fontos szerepet játszó szertartások (jagják) során használatos oltárok és térségek méretezéséről, tájolásáról és geometriai alakzatairól. E számítások gyakan alkalmazzák az ún. Püthagorasz-tételt. A derékszögű háromszög átmérőjére emelt négyzet egyenlő a háromszög oldalaira emelt négyzetek területének összegével – fogalmazta meg Püthagorasz i.e. 540 körül. Ugyanezt a tételt az i.e. nyolcadik századnál korábban lejegyzett legkorábbi Sulba-szútrában, a Baudhajanában is megtaláljuk. Vagyis ezt a tételt Indiában már azt megelőzően is széles körben alkalmazták, hogy Püthagorasz megfogalmazta volna. A Sulba-szútrákban található definíció pontos fordítása a következő: a háromszög átmérőjére emelt négyzet azonos területű a háromszög vízszintes és merőleges oldalára emelt négyzetek összegével(2). Euklidesz korától fogva jól ismert ennek az alapvető fontosságú tételnek a nehézkes és bonyolult bizonyítása, pedig a védák ötféle egyszerű magyarázattal is szolgálnak.

Needham történészkutató kijelentette, a tudomány- és technikatörténet ázsiai kutatásai be fogják bizonyítani, hogy e népek eredményei sokkal nagyobb mértékben járultak hozzá a reneszánsz előtti világ tudományos fejlődéséhez, mint azt korábban sejtettük(3).
A Sulba-szútrák a védikus matematikának csak azt a részét őrizték meg, amely az oltárépítésre és a vallási rituációkat szabályozó naptárszámításra vonatkozott. A Sulba-szútrákat követően az óind matematika fejlődését főként a csillagászat igényei ösztönözték. A Dzsjótisa, a védikus csillagászat a matematika minden ágát felhasználta.

A csillagászati megfigyelésekhez a vallási rituációk pontos időzítésének igénye adta a kezdeti lökést. Ezért a papok éjjel a Hold mozgását figyelték, ahogyan az keresztül haladt a lunáris házakon (a naksatrákon), nappal pedig a Nap észak-dél között váltakozó mozgását kísérték figyelemmel. A papokat azonban csak addig érdekelték a matematikai törvények, amíg azok gyakorlati haszonnal jártak. Ezért a felismert törvényeket a lehető legegyszerűbb és leggyakorlatiasabb módon fejezték ki. Részletes bizonyítások nem maradtak fenn, mert nem is igényelték őket.

A védikus matematika alapos elemzése feltárja, mennyivel előrébb jártak az óind matematikusok, mint a Nílus vagy az Eufrátesz menti kollegáik. A védikus matematikusok dolgozták ki a tizedes rendszert, a tized, század, ezred használatát, ahol az egyik számoszlop maradékát átvitték a másikra. A kilenc számjegyből és a nullából álló számrendszer előnye a könnyű számolás. A zérus, vagy ahogyan Indiában nevezik, a sunja bevezetése, mint a számrendszer egy konkrét eleme a matematika-történet egyik legjelentősebb vívmánya. A még ma is használatos számrendszer legkorábbi maradványai az indiai Asóka király kőoszlopain találhatók, amit az uralkodó i.e. 250 táján állíttatott(4). Hasonló leleteket találtak a Poona közeli barlangokban i.e. 100-ból, és Nasikból i.sz. 200 tájáról. Ezek a legkorábbi ind számjegyek brahmi írásban maradtak fenn.

Időszámításunk szerint 700 táján egy újfajta jelrendszer, a brahmi jelekből kialakult ún. ind számok használata kezdett terjedni Arábiában is, majd onnan szerte a világon. Az Indiától Spanyolországig húzódó egész arab birodalomban elterjedtek, s arab számokként váltak később ismertté. Az európaiak azért nevezték ezeket a számjegyeket “arabs”-nak, mert az araboktól vették át azokat. Maguk az arabok indiai jegyeknek (Al-Arqan-Al-Hindu) nevezték számaikat, s a matematikát is ind mesterségnek (hindiszat) hívták.

Ennek az új matematikának az elsajátítása révén a bagdadi számtantudósok nagyon jól tudták hasznosítani Euklidesz és Arkhimédesz geometriai értekezéseit. A trigonometria mellett a csillagászat és a földmérés is virágzásnak indult. Később “a matematika hercege”, Carl Friedrich Gauss állítólag azon sajnálkozott, hogy Arkhimédesz a Krisztus előtti harmadik században még nem ismerte az indiai számrendszert, mert ha ismerte volna, a tudomány is sokkal előrébb jutott volna.

E forradalmi felismerések előtt mindegyik nagy civilizációban – Egyiptomban, Babilonban, Rómában és Kínában – az abakusz minden sorának jelölésére külön szimbólumokat használtak, s mindegyikhez saját szorzó és összeadó-táblázat tartozott. E rendszerek olyan bonyolultak voltak, hogy a matematika valósággal megbénult, egy helyben topogott. Az indus-völgyi számrendszer valóságos forradalmat hozott, és szabaddá tette a matematikát. Időszámításunk szerint 500-ra az ind matematikusok megoldották azokat a problémákat, amik a világ legnagyobb tudósait is foglalkoztatták. A hatodik század elején élt Arjabhatta, csillagász-matematikus, bevezette a színuszt és a színusz versus-t, ami nagy előrelépés volt Ptolemaiosz félhúrjaihoz képest. A.L. Basham, az ősi India egyik legkiválóbb szakértője “A csoda, melyet úgy hívtak: India” című művében a következőket írja: “A középkori ind matematikusok, például Brahmagupta (VII. sz.), Mahavira (IX. sz.) és Bhaskara (XII. sz.) számos olyan szabályt fogalmazott meg, amit Európában csak a reneszánsz idején, vagy még később ismertek fel. Világosan értelmezték a pozitív és negatív mennyiségeket, pontos négyzet- és köbgyök-táblázatokat állítottak össze, ismerték a másodfokú egyenletek, valamint egyes határozatlan egyenletek megoldását is”(6). Mahavira legjelentősebb eredménye a törtek úttörő kezelése volt, valamint a törtnek törttel való osztásához kidolgozott szabálya, ami egészen a XVI. századig ismeretlen volt Európában.

B. B. Dutta azt írja, hogy az algebra alapja a szimbólumok használata az ismeretlenek és az egyenletek jelölésére. A hinduk voltak az elsők, akik szisztematikusan használták az ismeretlenek jelölésére az ábécé betűit. Az egyenleteket is ők osztályozták és elemezték először, így nyugodtan mondhatjuk, hogy nekik köszönhető a modern algebra megszületése(7). Bhaskarácsárja, a jeles ind matematikus 1150 táján kimerítő értekezést írt a sík és térbeli trigonometriáról és algebráról. Művei olyan értékes megoldásokat tartalmaznak, melyeket Európában csak a XVII-XVIII. században ismertek fel. A differenciálszámítás szabályainak meghatározásával jó ötszáz évvel előzte meg Newtont. A. L. Basham továbbá hozzáteszi: “A klasszikus matematika művelői által legfeljebb homályosan sejtett nulla és végtelen fogalma az ind középkorban teljesen közismert volt. Korábban a matematikusok azt gondolták, hogy az n/0 = n-nel, de Bhaskara bebizonyította ennek ellenkezőjét. Ő volt az, aki matematikailag is igazolta: bármennyivel is osszuk a végtelent, az mindig végtelen marad. Ezt az óind filozófia jó ezer évvel korábban megállapította már. A XIV. században, a Dél-Indiában elszigetelten élő Mádhava láthatóan mindenfajta integrálszámítás nélkül kidolgozta az arcustangens egyenlet hatványtáblázatát, ami a π-értékének végtelen tizedesig menő meghatározását is lehetővé tette (mivel arcustangens 1 = π/4). Akár integrálszámítás nélkül, akár egy azzal felérő módszer kifejlesztésével érte ezt el, mindenképpen bámulatos eredmény.

A XV. századra szerte Európában, így Britanniában, Frankföldön, Németországban és Itáliában is elterjedt az újfajta ind matematika alkalmazása. A.L. Basham jegyzi meg: “A nyugati világ mindig is nagy kétkedéssel viseltetett India iránt a matematika terén. A legtöbb felfedezés, amire Európa olyan büszke, nem is következhetett volna be a fejlett matematikai gondolkodás híján. Az pedig nem alakulhatott volna ki, ha Európa továbbra is az ügyetlen római számrendszert alkalmazta volna. Az új rendszert megalkotó ismeretlen India legnagyobb fiának, Buddhának volt a követője. Felismerését ma igencsak kézenfekvőnek tekintjük, habár az egy kiváló vizsgálódó elme műve. Ez a nagyszerű gondolkodó sokkal nagyobb tiszteletet érdemelne, mint amit eddig kapott.”

Európa-központúsága miatt a közönséges ember sajnos nem ismeri fel, mennyivel tartozunk Indiának a matematika terén. Ezt végiggondolva talán a modern ember is eltöpreng az ősi indiai lelki elfogultságán. A látnokokat (rsiket) nem tekinthetjük fellegekben járó, minden reális tudást nélkülöző álmodozóknak. Ők járatosak voltak a világi tudományokban is, de csak olyan mértékben, amennyire azt szükségesnek tartották a tudatot elsődlegesnek tekintő világnézetük szerint.

A hajdani Indiában a matematika összekötő híd volt az anyagi valóság és a lelki felfogás között. Az óind matematika alapvető különbsége a göröggel szemben az, hogy a hellénekkel ellentétben ők egyáltalán nem találták érdekesnek a pusztán esztétikai örömöt nyújtó, öncélú tudományosságot. A védikus matematikából hiányzik a nyugat hűvös, tiszta geometriai precizitása, inkább a keleten amúgy is általános költőiség jellemzi. A védikus matematikusok úgy tartották, minden tudománynak megvan a maga célja, s hitték, az élet végső célja az önmegvalósítás és az istenszeretet, s ezáltal az ismétlődő születés és halál körforgásából való kiszabadulás. Pontosan követték mindazokat a gyakorlatokat, amik ezt a célt közvetve vagy áttételesen elősegítették. A vallási-asztrológiai kérdéseken túl csak a mindennapi élet problémái (adásvétel, árucsere stb.) foglalkoztatták az ind matematikusokat.

A védikus matematika egyik legjelesebb képviselője Bharati Krisna Tírtha Mahárádzs, a Védikus Matematika című munkájában bepillantást enged az ősi ind számtan finomságaiba. Az Atharva-védát idézve számos olyan szútrát, kódot vagy aforizmát idéz, amelyek gyakorlatilag a matematika összes ágára vonatkozhatnak, a számtanra, az algebrára, síkbeli és térbeli geometriára és trigonometriára, a geometriai és analitikus kúpszelettanra, a csillagászatra vagy a differenciál- és integrálszámításra, s folytathatnánk a sort.

A szútrák segítségével rendkívül egyszerűen, fejben elvégezhetők olyan számítások, melyekhez az ún. modern módszerekkel hosszabb időre van szüskég. Egy száz lépésből álló számítás például egyetlen lépésben megoldható a védikus módszer segítségével. Az 1/29-ed értékű szám tizedes törtté alakítása általában 28 lépésben oldható meg. A védikus módszer segítségével ehhez egyetlen lépés is elegendő.

A világi és lelki élet összefonódását bizonyítandó Tírtha Mahárádzs emlékeztet arra, hogy a matematikai formulákat és szabályokat gyakran lelki kifejezésekben (mantrákban) fogalmazták meg. Így a lelki lecke megtanulásával egyúttal a matematikai törvényszerűségeket is elsajátította az ember.

A védikus matematikusok – mondja Tírtha Mahárádzs – inkább a szanszkrit ábécé dévanágari betűit használták, mint magukat a számjegyeket, különösen a nagy számok jelölése esetén. Így a diákoknak is sokkal könnyebb volt feljegyezni a független változókat és a végeredményeket.

Tírtha Mahárádzs kijelenti:”A diákok megsegítése végett még a leginkább technikai jellegű, kifejezetten nehezen érthető szakkönyveket is verses formában, szútrákban szerkesztették. Ez általános szabállyá vált az óind tudományban, mert verset még a kisgyermek is sokkal könnyebben tanul. Ezért aztán nemcsak teológiai, filozófiai, orvosi vagy csillagászati értekezéseket szerkesztettek verses formában, hanem még nagyszótárt is. A tanulás leegyszerűsítése, valamint a tudományos munka könnyebbé tétele végett használták a verses formát, ezért fogalmazták meg ilyen könnyen érthető alakban a tudományos, sőt akár a matematikai tételeiket is”(8).

Az alábbi kódot használták. Szanszkrit hangok és számértékük:

ka, ta, pa, ja – 1
kha, tha, pha, ra – 2
ga, da, ba, la – 3
gha, dha, bha, va – 4
gna, na, ma, sza – 5
csa, ta, sa – 6
csha, tha, sha – 7
dzsa, da, ha – 8
dzsha, dha – 9
ka – 0

A magánhangzók nem számítanak; a szerző minden lépésnél szabadon választhatta meg a magán- és mássalhangzókat. A gazdag választék révén sajátos jelentésekkel egészíthette ki mondandóját. A kapa, tapa, papa vagy japa kifejezések számértéke egyaránt tizenegy. A magán- és mássalhangzók sajátos megválasztásával akár kettős vagy hármas jelentésű költői himnuszok is fogalmazhatók. Vegyünk például egy lelki töltésű szútrát, ami ugyanakkor matematikailag is értelmezhető.

gópi bhagja madhuvrata szrngisó dadhi shandhiga
khala dzsívita khatáva gala hálá rasandhara

Ez a vers fohász Krisnához, s egyúttal a π tizedrészének (vagyis a kör kerületének aránya átmérőjéhez, osztva tízzel) harminckét helyiértékig pontos definíciója is. Emellett egy olyan kulcs is benne foglaltatik, amely korlátlan számú helyiértékig pontos definíciót jelent.

A szútra fordítása a következő: “Óh, pásztorlánykák imádatának joghurtjával felkent Uram! Óh, elesettek megmentője, óh, Siva mestere, kérlek, oltalmazz engem!” A fenti mássalhangzó-kód segítségével a vers jelentése tizedestörtként értelmezve a π értékének tizedét adja: π/10 = 0.31415926535897932384626433832792. Így egyszerre hódolhat az ember odaadással Istennek, ugyanakkor fontos evilági adatokat is könnyedén megjegyezhet.

A védikus világnézetnek ez a tudományról alkotott felfogása. A transzcendentális tudomány művelésével párhuzamosan a jelenségvilág bonyolultságát is megismerhetjük. Az abszolút igazság megismerésével a relatív igazságok is feltárulkoznak. Manapság sokan úgy tartják: a vallás és a tudomány összeegyeztethetetlen, és sohasem találkoznak, akár két párhuzamos a végtelenben. E téves feltételezés a vallás és tudomány hiányos ismeretéről tanúskodik, hiszen a tudomány csupán egy kisebb kör a vallás szélesebb keretein belül.

Sose tévesszük szem elől lelki céljainkat! Ne essünk abba a hibába, hogy a matematika, vagy bármely más természettudomány eredményeit istentelen célokra fordítsuk. Értelmünk nem más, mint Isten kegyes ajándéka, amit a lelki élet, nem pedig egyéni önző vágyaink megvalósításához kaptunk.

Jegyzetek:

1. E.J.H. Mackay: Further Excavations at Mohenjo-daro, 1938, p.222.
2. Saraswati Amma: Geometry in Ancient and Medieval India, Motilal Banarsidass, 1979, p.18.
3. Dr.V.Raghavan: Presidential Address, Technical Sciences and Fine Arts Section XXIst AIOC, New Delhi, 1961.
4. Herbert Meschkowski: Ways of Thought of Great Mathematicians, Holden-Day Inc., San Francisco, 1964.
5. Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics, Rinehart and Co. Inc. New York, 1953. p.19.
6. A.L. Basham, The Wonder That Was India, Rupa & Co., Calcutta, 1967.
7. B.B. Dutta, History of Hindu Mathematics, Preface.
8. Jagadguru Swami Shri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja: Vedic Mathematics, Motilal Banarsidass, Delhi, 1988.

David Osborn

1990/2.

(David Osborn a San Francisco-ban negyedévenként megjelenő Clarion Call folyóirat egyik szerkesztője és fotósa.)